2019年巴西数学奥林匹克试题的解答

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今天给大家转载一份2019年巴西数学奥林匹克试题的解答。

补充：与第6题有关的一个经典问题：

在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。求证：K、O、N、M、L五点共圆。

证明：连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA

∵∠ACN＋∠AIN＝∠NHD＋∠AIN＝∠NID＋∠AIN＝180°

∴A、I、N、C四点共圆

　　同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆

∴∠GMN＝∠GCN＝∠ACN＝180°－∠AKN

又∠LMG＝180°－∠LFG＝∠LFA＝∠LKA

∴∠LMN＝∠LMG＋∠GMN＝∠LKA＋(180°－∠AKN)

∴∠LMN＋∠LKN＝∠LKA＋(180°－∠AKN)＋∠LKN＝180° 故K、L、M、N四点共圆

　　同理可证O、L、M、N四点共圆

∴K、O、N、M、L五点共圆证毕。

　　以上内容转载于微信公众号：陈煜解数学题

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数学小分享--IMO金牌获得者

     恽之玮    

恽之玮，江苏常州人，数学家，现为麻省理工学院数学教授，研究领域为几何表示论及朗兰兹纲领。1998年，获高联江苏赛区一等奖，同时入选省队，并在CMO中表现优异入选国家集训队。次年，获高联江苏赛区第一名，入选省队再战CMO，并再次入选国家集训队。最后在同年的选拔考试中位列第一，入围中国国家队，在IMO的比赛中获满分金牌（共4人满分）。本科就读北大数学系期间，四年期间平均学分绩点排名位列北大数院第一，之后进入普林斯顿大学数学系读研究生，获博士学位。2012年12月，获拉马努金奖。2017年，获得“新视野奖”。恽之玮借鉴吴宝珠在证明朗兰兹纲领自守形式的经典迹公式的基本引理中的想法，证明了自守形式的相对迹公式的基本引理。他在博士后阶段解决了例外李型单群的反伽罗瓦问题，可谓该领域近20年最重要的工作之一。与德国数学家焦亨、吴宝珠合作的发表于数学年刊的文章中，利用几何朗兰兹理论，构造了一些新的局部系统，解决了卡兹教授（普林斯顿大学）的一个多年未决的重要猜想。